Question

高数不等式导数问题！高分加高分！

我现在又两个方法染得不轻，第一个是证明不等式用极值的方法，第二是是证明不等式有二阶也就是凹凸性方法。
1.当a是正常数，且当0<x<+∞时，证明：（x^2-2x+1)e^-x<1 这个题说因为不能确定在两点处的极限值和f'(x)的符号，所以采用极值的方法。
2.证明当0<x<1时，1-x+(x^2)*(e^x)-e^x<=e^x这个题说因为确定不了f'x的符号，所以就用f''x，凹凸性做。
我不明白的是极值和二阶的方法有什么区别！要详解 加分到100！

Answer 1

1.昨天貌似看你解答了一个极值问题，那个题目帮你做了，没想到做完后发现你题目已解决，所以就回复不上了。

以前证明不等式，传统方法是构造函数，然后求导，在单调区间取最值满足一个条件，根据区间单调性就可以证明相应结论。但是这道题目不同，它是给了你区间，不是你自己求出的单调区间。因此区间不一定是单调的了。这个时候，你就化整为零。把整个大区间化成几个单调的小区间，然后来解答。而极值的方法就是理想的方案，因为连续的函数，相邻两个极值间的区间是单调的。

拿这道题目来说，F（x）=（x^2-2x+1)e^-x-1

首先求极值，得极小值是x=1时，极大值是x=3时。这个时候你最好可以勾勒一下函数的大体趋势--在（0，1）递减，在（1，3）递增，>3也是递减

所以你只需证明x->0+0时候和x=3的时候满足F（x）小于0就可以了

2.这个题目的思想和上面的一样，给定区间，不知道单调性，那就用极限吧，只是中间会因为特殊原因，用到凹凸性。

设函数为F（x）=1-x+(x^2)*(e^x)-2e^x

即只需证明在（0，1）F（x）<=0即可

F'(x)=-1+2x*e^x+(x^2)*(e^x)-2e^x=[(x^2)+2x-2]*e^x-1

【F'(x)难以看出来与0的关系，所以再求2阶导数】

F''(x)=（x^2+4）*e^x

F''(x)在0<x<1是大于0的，说明函数的一阶导数是递增的

现在看一阶导数，带入x=0 一阶导数小于0，带入x=1，一阶导数大于0

说明一阶导数是从小于0递增到大于0

那么F（x）就是先递减，递减的越来越慢，然后再递增，递增越来越快

也就是说F（x）在两端取得较大的值，这个时候，你只需带入x=0，和x=1，得 F（x）符合题意，则可