高数不等式导数问题!高分加高分!

我现在又两个方法染得不轻,第一个是证明不等式用极值的方法,第二是是证明不等式有二阶也就是凹凸性方法。1.当a是正常数,且当0<x<+∞时,证明:(x^2-2x+1)e^-... 我现在又两个方法染得不轻,第一个是证明不等式用极值的方法,第二是是证明不等式有二阶也就是凹凸性方法。
1.当a是正常数,且当0<x<+∞时,证明:(x^2-2x+1)e^-x<1 这个题说因为不能确定在两点处的极限值和f'(x)的符号,所以采用极值的方法。
2.证明当0<x<1时,1-x+(x^2)*(e^x)-e^x<=e^x这个题说因为确定不了f'x的符号,所以就用f''x,凹凸性做。
我不明白的是极值和二阶的方法有什么区别!要详解 加分到100!
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2009-05-17 · TA获得超过3.6万个赞
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1.昨天貌似看你解答了一个极值问题,那个题目帮你做了,没想到做完后发现你题目已解决,所以就回复不上了。

以前证明不等式,传统方法是构造函数,然后求导,在单调区间取最值满足一个条件,根据区间单调性就可以证明相应结论。但是这道题目不同,它是给了你区间,不是你自己求出的单调区间。因此区间不一定是单调的了。这个时候,你就化整为零。把整个大区间化成几个单调的小区间,然后来解答。而极值的方法就是理想的方案,因为连续的函数,相邻两个极值间的区间是单调的。

拿这道题目来说,F(x)=(x^2-2x+1)e^-x-1

首先求极值,得极小值是x=1时,极大值是x=3时。这个时候你最好可以勾勒一下函数的大体趋势--在(0,1)递减,在(1,3)递增,>3也是递减

所以你只需证明x->0+0时候和x=3的时候满足F(x)小于0就可以了

2.这个题目的思想和上面的一样,给定区间,不知道单调性,那就用极限吧,只是中间会因为特殊原因,用到凹凸性。

设函数为F(x)=1-x+(x^2)*(e^x)-2e^x

即只需证明在(0,1)F(x)<=0即可

F'(x)=-1+2x*e^x+(x^2)*(e^x)-2e^x=[(x^2)+2x-2]*e^x-1

【F'(x)难以看出来与0的关系,所以再求2阶导数】

F''(x)=(x^2+4)*e^x

F''(x)在0<x<1是大于0的,说明函数的一阶导数是递增的

现在看一阶导数,带入x=0 一阶导数小于0,带入x=1,一阶导数大于0

说明一阶导数是从小于0递增到大于0

那么F(x)就是先递减,递减的越来越慢,然后再递增,递增越来越快

也就是说F(x)在两端取得较大的值,这个时候,你只需带入x=0,和x=1,得 F(x)符合题意,则可
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