Question

若abc为正数，证明2（a3+b3+c3）大于等于a2(b+c)+b2(a+c)+c2( a+b)注是3是立方

Answer 1

2*（a^3+b^3+c^3）- (a^2*(b+c)+b^2*(a+c)+c^2*(a+b))
=2*a^3+2b^3+2c^3 - b*a^2-c*a^2 - a*b^2-c*b^2
- a*c^2-b*c^2
=(a^3-a*b^2)＋（a^3-a*c^2）＋(b^3-b*a^2)+(b^3-b*c^2)
+(c^3-c*a^2)+ (c^3-c*b^2)
=a(a^2-b^2)+a(a^2-c^2)+b(b^2-a^2)+b(b^2-c^2)
+c(c^2-a^2)+c(c^2-b^2)
=(a-b)(a^2-b^2)+(a-c)(a^2-c^2)+(b-c)(b^2-c^2)
=(a+b)(a-b)^2+(a+c)(a-c)^2+(b+c)(b-c)^2
>＝0 (因为a,b,c都是正数，而x^2>=0)
当且即当 a=b=c时取等号。
得证。

Answer 2

先证明：a^3
+
b^3
>=
a^2b
+
ab^2
因为：
(a^3
+
b^3)
-
(a^2b
+
ab^2)
=
a^2
*
(a-b)
-
b^2
*
(a-b)
=
(a^2
-
b^2)
(a
-
b)
=
(a
+
b)(a
-
b)^2
>=
0
所以：a^3
+
b^3
>=
a^2b
+
ab^2
（取等号的条件是
a
=
b）
同理：
a^3
+
b^3
>=
a^2b
+
ab^2
a^3
+
c^3
>=
a^2c
+
ac^2
b^3
+
c^3
>=
b^2c
+
bc^2
三式相加，得：
2(a3+b3+c3)
>=
a2(b+c)
+
b2(a+c)
+
c2(a+b)
取等号的条件是
a
=
b
=
c
但题目中，a、b、c不全相等，所以：
2(a3+b3+c3)
>
a2(b+c)
+
b2(a+c)
+
c2(a+b)