Question

在区间0到PI/2上lnsinx积分怎样用欧拉积分表示？

下面这个积分怎样用欧拉积分（咖马函数和贝塔函数）表示？
急求！！！！
不是计算积分值！是用欧拉积分的定义暨贝塔或噶玛函数来表示这个积分！

Answer 1

设M=∫【0，л/2】lnsinxdx（注：【0，л/2】表示积分区间是从0到л/2，以下类同。）
解：令x=2t.
则M=2∫【0，л/4】lnsin2tdt=2∫【0，л/4】ln(2sintcost)dt
=2∫【0，л/4】ln2dt+2∫【0，л/4】lnsintdt+2∫【0，л/4】lncostdt
而对于N=∫【0，л/4】lncostdt,令t=л/2-u.
则有N=∫【л/2，л/4】lnsin(л/2-u)(-du)=∫【л/4，л/2】lncosudu
=∫【л/4，л/2】lncostdt
∴M=2∫【0，л/4】ln2dt+2∫【0，л/4】lncostdt+2∫【л/4，л/2】lncostdt
=(лln2)/2+2∫【0，л/2】lncostdt=(лln2)/2+2∫【0，л/2】lnsintdt=(лln2)/2+2M
∴M=(-лln2)/2.

Answer 2

可以先分部积分，求∫【0，π/2】（xcotx）dx时，令2x=t,化为0到π上的积分，再用∫【0，π】xf(sinx)dx=π/2∫【0，π】f（sinx）dx就可以了。

Answer 3

哥们 说实话 我只知道伽马函数 贝塔函数不懂
不过 这道题 貌似可以 分步积分啊