Question

已知a，b是正实数，a+b=2,n为正整数，则（1+a的n次方）分之一+（1+b的n次方）分之一的最小值为

已知a，b是正实数，a+b=2,n为正整数，则（1+a的n次方）分之一+（1+b的n次方）分之一的最小值为
解：
先证：【（1+a的n次方）分之一+（1+b的n次方）分之一】大于等于一，
∵
{【（1+a的n次方）分之一+（1+b的n次方）分之一】大于等于一 ←→（1+a的n次方）*（1+b的n次方）←→ （ab）^n≤1}，由a+b=2，得4ab≤（a+b）^2=4,所以0＜ab≤1，∴（ab）^n≤1,当a=b=1时，最小值为一。
这{ }的几步是怎么来的？请详细解释

Answer 1

1/(1+a^n)+1/(1+b^n)>=1
<=====>通分
1+a^n+1+b^>=(1+a^n)*(1+b^n)
展开后消去同类项就得到
1>=a^nb^n
即1>=(ab)^n
而ab=[(ab)^1/2]^2<=[(a+b)/2]^2=1
所以ab<=1
同理
ab^n<=1
的证

Answer 2

如果是填空题的话不要按这个答案比较好，有技巧的，a+b=2,1/(1+a^n)+1/(1+b^n),把a与b互换发现题目是一样的，可以直接判断a=b。带入即可

Answer 3

给你一个思路，（1+a的n次方）分之一+（1+b的n次方）分之一=[a^n+b^n+2]/[a^n+b^n+1+a^nb^n]注意到a^n+b^n，a^nb^n有均值不等式想到他们之间的关系，代换到一个，减少变量，有,在注意要利用条件有a^nb^n=[ab]^n<={[a+b]^2/4}^n=1,[a^n+b^n+1+a^nb^n]<==[a^n+b^n+2],这样最小值为1

Answer 4

a