Question

急急急！请问一道已知特征值 求行列式值的问题？

已知三阶矩阵A的特征值为1，1和-2，求以下行列式的值
|A-I3| |A+2I3| |A^2+3A-4I3|

PS:I3 其中3是小写 表示3阶单位阵

Answer 1

解：已知三阶矩阵A的特征值为1，1和-2，所以A可以写成如下矩阵乘积的形式：
A=P^(-1) diag(1,1,-2) P
其中P为可逆矩阵。
所以
|A-I3|＝|P^(-1) diag(1,1,-2) P -I3|
=|P^(-1)| |diag(1,1,-2) -I3| |P|
=|P^(-1)| |diag(0,0,-3)| |P|
=0
|A+2I3|＝|P^(-1) diag(1,1,-2) P +2I3|
=|P^(-1)| |diag(1,1,-2) +2I3| |P|
=|P^(-1)| |diag(4,4,0)| |P|
=0

|A^2+3A-4I3| = |(A-I3)(A+4I3|
=|A-I3| |A+4I3|
=0 * |A+4I3|
=0

Answer 2

等于0吧
原式=|A-E|^2|A+2E||A+4E|
因为A的特征值为1
所以|A-1*E|=0 所以原式=0