Question

高数---多元函数极限

在第一卦限内作椭球面 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1的切平面，使该切平面与三坐标平面所围的四面体体积最小，求此最小体积。

Answer 1

设F(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1
Fx=2x/a^2,Fy=2y/b^2,Fz=2z/c^2,
假设椭圆面上的任意一点坐标为(x0,y0,z0),则
x0^2/a^2+y0^2/b^2+z0^2/c^2=1 ------(1)
该椭圆面的切平面方程应为:
(2x0/a^2)*(x-x0)+(2y0/b^2)*(y-y0)+(2z0/c^2)*(z-z0)=0,
由(1),可将上式化为:
xx0/a^2+yy0/b^2+zz0/c^2=1 -------(2)
切平面在三个坐标轴上的截距分别为:
x=a^2/x0,y=b^2/y0,z=c^2/z0.
故四面体的体积为:
V=1/6*|x||y||z|=(abc)^2 / (6x0y0z0).
最后就是求x0y0z0的最大值问题了:
由(1)可得:(bcx0)^2+(acy0)^2+(abz0)^2=(abc)^2
由均值不等式可得:
3*((abc)^4*(x0y0z0)^2)^(1/3)≤(bcx0)^2+(acy0)^2+(abz0)^2=(abc)^2
即x0y0z0≤(√3/9)|abc|,
当且仅当x0=|a|/√3,y0=|b|/√3,z0=|c|/√3时,等号成立.
则Vmin=(√3/2)|abc|.

Answer 2

这题要用重积分做,设球方程为x^2+y^2+z^2≤r^2,
定球面方程为x^2+y^2+(z-a)^2=a^2.,
则其交面在xoy面上的投影为x^2+y^2≤r^2*(1-(r/2a)^2).
此时r必须满足r<2a.才能使前者夹在定球内部.
球的上表面方程为z=√(r^2-x^2-y^2),
z'x=-x/√(r^2-x^2-y^2)
z'y=-y/√(r^2-x^2-y^2)
故前者夹在定球内部的表面积为:
S=∫∫D
ds
=∫∫D√(1+(z'x)^2+(z'y)^2)dο
(区域D:x^2+y^2≤r^2*(1-(r/2a)^2).)
解得S=Пr^2*(2-
r/a),而又0<r<2a,
最后转化成求最值问题,用A-G不等式:
S=4Пa^2*(r/2a)*(r/2a)*(2-r/a)≤4Пa^2*(2/3)^3=32Пa^2/27.
当且仅当r/2a=2-r/a,即r=4a/3时,等号成立.