Question

高等数学三重积分计算问题

：（1）∫∫∫ xdxdydz,其中区域Ω是由x^2+y^2=4,z=0和z=x+y+4所围成
（2）∫∫∫zdzdydz，其中Ω是由曲面z=x^2+y^2，平面z=1，z=4所围成

Answer 1

（1） ∫∫∫ xdxdydz = ∫<-4,0>dx∫<-4-x,0>dy∫<0,x+y+4> xdz
= ∫<-4,0>xdx∫<-4-x,0>(x+y+4)dy = ∫<-4,0>xdx [(x+4)y+y^2/2]<-4-x,0>
= ∫<-4,0>xdx [(x+4)y+y^2/2]<-4-x,0> = (1/2)∫<-4,0> x(x+4)^2dx
= (1/2)∫<-4,0> (x^3+8x^2+16x)dx =(1/2)[x^4/4+(8/3)x^3+8x^2]<-4,0> =-32/3.
（2）∫∫∫zdzdydz = ∫<0,2π>dt∫<1,2>rdr∫<r^2,4> zdz
= ∫<0,2π>dt∫<1,2>r(8-r^4/2)dr = 2π[4r^2-r^6/12]<1,2> = 27/4.