Question

高一数学题，求详细过程

定义域在R上的函数满足: 1.对任意s,t属于R,都有f(s+t)=f(s)+f(t)+st； 2. f(3)=6； 3. 对任意x>0,有f(x)>0。
（1）证明函数f(x)在0到正无穷上单调递增
（2）若f(2^x)+f(2^1-x)<4，求x的取值范围

本人数学差，希望过程不要跳步，比较详细清楚就行了，谢谢

Answer 1

(1).分析：如何证明函数f(x)在0到正无穷上单调递增

只需证明：当x>0时，总有f(x)>f(0)即可

证明：由题意知：对任意s,t属于R,都有f(s+t)=f(s)+f(t)+st

那么：当s=t=0时

可以得到：f(0)=f(0)+f(0)+0

即：f(0)=0

又因为：对任意x>0，有f(x)>0

因此：对任意x>0，有f(x)>f(0)

所以：函数f(x)在0到正无穷上单调递增

(2).解：

由题知：对任意s,t属于R,都有f(s+t)=f(s)+f(t)+st

因此：f(2^x)+f[2^(1-x)]=f{(2^x)+[2^(1-x)]}-2=f[2^x+2^(1-x)]-2

f(2^x)+f[2^(1-x)]<4

即：f[2^x+2^(1-x)]-2<4

f[2^x+2^(1-x)]<6

因为：f(3)=6

所以：f[2^x+2^(1-x)]<f(3)

又因为：函数f(x)在0到正无穷上单调递增

因此：0<2^x+2^(1-x)<3

因为：2^x+2^(1-x)>0恒成立

所以只要解出：2^x+2^(1-x)<3即可

设2^x=a>0

a+2/a<3

解得：1<a<2

也就是：1<2^x<2

得：0<x<1

附上图形，可以更直观的看出当0<2^x+2^(1-x)<3时，x的取值范围