Question

2009年天津文科数学高考第10题详解

Answer 1

设函数f(x)在R上的导函数为f'(x) ，且2f(x)+xf'(x)＞x² ，下面的不等式在 上恒成立的

由已知条件构造辅助函数
设F(x)=x^2f(x),
所以，F'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]
因为2f(x)+xf'(x)>0
所以，当x>0时,F'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>x×x^2
即F'(x)>x^3>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数
当x<0，即-x>0时,F'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]=-(-x)[2f(x)+xf'(x)]
因为(-x)[2f(x)+xf'(x)]>(-x)×x^2
所以，-(-x)[2f(x)+xf'(x)]<x^3
即F'(x)<x^3<0,F(x)在(-∞,0)上是减函数
所以，当x=0时，F(x)最小
所以，F(x)=x^2f(x)≥F(0)=0(当且仅当x=0取等号）
所以，f(x)≥0，只有x=0时才可能取等号，
但2f(0)+0f'(0)>0^2,
即f(0)>0
所以，f(x)>0