Question

高中数学数列题

已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1/2,an+1=(n+1)an/2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=n(2-Sn),n∈N*，若集合M={n|bn≥λ，n∈N*}恰有4个元素，求实数λ的取值范围.
谢谢！

Answer 1

1.
a(n+1)=(n+1)an/(2n)
a(n+1)/(n+1)=(1/2)(an/n)
[a(n+1)/(n+1)]/(an/n)=1/2，为定值
a1/1=(1/2)/1=1/2，数列{an/n}是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列
an/n=1/2ⁿ
an=n/2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=n/2ⁿ
2.
Sn=a1+a2+...+an=1/2+2/2²+3/2³+...+n/2ⁿ
Sn /2=1/2²+2/2³+...+(n-1)/2ⁿ+n/2^(n+1)
Sn -Sn /2=Sn /2=1/2+1/2²+...+1/2ⁿ -n/2^(n+1)
=(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2) -n/2^(n+1)
=1- (n+2)/2^(n+1)
Sn=2- (n+2)/2ⁿ
n=1时，b1=1×(2-S1)=1×(2-a1)=1×(2-1/2)=3/2
n=2时，b2=1×(2-S2)=1×(2-2+4/4)=1
n≥2时，
bn=n(2-Sn)=n[2-2+(n+2)/2ⁿ]=n(n+2)/2ⁿ
b(n+1)/bn=[(n+1)(n+3)/2^(n+1)]/[n(n+2)/2ⁿ]
=(n+1)(n+3)/[2n(n+2)]
=(n²+4n+3)/(2n²+4n)
n为正整数，n²+4n+3>0 2n²+4n>0
2n²+4n-(n²+4n+3)=n²-3 n≥2，n²-3>0 2n²+4n>n²+4n+3
0<(n²+4n+3)/(2n²+4n)<1，即数列从第2项开始单调递减，又b2=1<b1，数列{bn}单调递减
要bn≥λ恰有4个元素，只要b4≥λ b5<λ
b4=4×(4+2)/2⁴=3/2≥λ λ≤3/2
b5=5×(5+2)/2^5=35/32< λ λ>35/32
综上，得 35/32<λ≤3/2

Answer 2

(1) an=n/(2(n-1))*(n-1)/(2(n-2))......1*a1
=n/(2^n)
(2) sn=2-(n+2)*(1/2)^n
bn=(n^2+2n)*(1/2)^n 35/32<lamda<3/2