Question

设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,(2Sn)/n=a(n+1)-1/3n^2-n-2/3，

求通项公式，（2）证明1/a1+1/a2+。。+1/an小于7/4

Answer 1

Answer 2

两边同时加Sn
Sn+1=(2+n)Sn/n+1/3n^2+n+2/3
根据一阶线性变系数差分方程的公式，该方程的通解为
Sn=[求和0到n-1（2x^2/3(x+1)(x+2)+2x/(x+1)(x+2)+4/3(x+1)(x+2)）]*n(n+1)/2+Cn(n+1)/2
2x^2/3(x+1)(x+2)+2x/(x+1)(x+2)+4/3(x+1)(x+2)=2/3-(6x+4)/3(x+1)(x+2)+6x/3(x+1)(x+2)+4/3(x+1)(x+2)=2/3
所以Sn=n^2(n+1)/3+Cn(n+1)/2
an=Sn-S(n-1)=n^2-n/3+Cn=n^2+Cn（另一个C）
a1=1 解得C=0
所以an=n^2
(2)1+1/4+1/9+...<1+1/1.5*2.5+1/3.5*4.5+...
1/n(n+1)=1/n-1/n+1
1+1/4+1/9+...<1+1/1.5-1/2.5+1/2.5-1/3.5+...=5/3<7/4

Answer 3

(1)a2=4,方法就是取n=2，S2=a1+a2来算
(2)2Sn=na(n+1）-n^3/3-n^2-2n/3
2an=Sn-S(n-1)
an=n*a（n+1）/n+1-n
an/n=a（n+1）/n+1-1
1=a（n+1）/n+1-an/n
｛an/n｝成，首项为1，公差为1的等差数列

Answer 4

(2Sn)/n=a(n+1)-1/3n^2-n-2/3，
是什么意思？是这个意思吗？6Sn=3na(n+1)-n³-3n²-2n