Question

在三角形ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a,b,c三边的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°。

Answer 1

假设B>=90度
那么 b>a,b>c
则 1/a>1/b ,1/c>1/b
所以 1/a+1/c>2/b
这与题目“a,b,c的倒数成等差数列”矛盾
所以假设不成立
所以B<90°

Answer 2

由已知得2/b=1/a+1/c
即b=2ac/(a+c)
因为a+c≥2√(ac)
所以b≤2ac/(2√(ac))=√(ac)
所以b^2≤√ac
从而a^2+c^2-b^2≥a^2+c^2-ac=(a-1/2*c)^2+3/4c^2≥0
所以cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac≥0
所以∠B<90°。