Question

已知a是正整数,如果关于X的方程

已知a是正整数，如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根．
方程可分解为：x^3-x^2+(a+18)x^2-(a+18)x+56x-56=0
(x-1)[x^2+(a+18)x+56]=0
其中一个根为x=1
另2个根为方程x^2+(a+18)x+56=0的解
得：a=-x-56/x-18
x为56的因数，因为a>0, 所以x为负整数
x=-1或-56， a=1+56-18=39,此时另2根为-1, -56
x=-2或-28， a=2+28-18=12,此时另2根为-2,-28
x=-4或-14， a=4+14-18=0, 不符
x=-7或-8，. a=7+8-18<0,不符。

(x-1)[x^2+(a+18)x+56]=0 这一步是怎么想到的 就是上面的式子化为这步

Answer 1

我想你是想知道这类高次方程是如何分解的。

这是用待定系数法因式分解的。因为X^3的系数是1。∴原式可分解为（x^2+bx+c)(x+d)=x^3+(b+d)X^2+(bd+c)x+dc ∴b+d=a+17
bd+c=38-a
dc=-56.(∵56的因数有1，2，4，7，8，14，28，56）
如果d=1,c=-56,那么等式恒成立。∴方程有一根是1。方程可化为：（x^2+bx+c)(x-1)的形式。
如果d=-1,c=56,那么等式恒也成立。∴方程有一根是-1。∴方程x^2+bx+c=x^2+bx+56=(x+1)(x+56)
∴原式可分解成（X-1）（X+1）（X+56）。∴X=1，-1，-56。
如果d=2,c=-28那么a=12，b=27∴方程有一根是2，方程可化为：（x^2+27x-28)(x+2)=(x+28)(x-1)(x+2)的形式，
如果d=-2,c=28,那么a=-48.
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此题目只需求出一根就容易分解了。不要一个个试。

Answer 2

x^3-x^2+(a+18)x^2-(a+18)x+56x-56=0
x^2(x-1)+{(a+18)x}(x-1)+56(x-1)=0
(x-1)[x^2+(a+18)x+56]=0