Question

第15题 求解答

Answer 1

15.(1)m=(2sinB,√3),n=(cos2B,cosB),m,n共线，
∴2sinB/cos2B=√3/cosB,
∴tan2B=2sinBcosB/cos2B=√3，△ABC是锐角三角形，
∴2B=60°，
∴B=30°。
(2)b=1,由正弦定理，a=bsinA/sinB=2sinA,c=2sinC,
∴S△ABC=(1/2)acsinB=sinAsinC
=(1/2)[cos(A-C)-cos(A+C)]
=(1/2)[cos(A-C)+cosB]
<=(1/2)(1+√3/2),
当A=C=75°时取等号，
∴S△ABC的最大值是(2+√3)/4.

Answer 2

(1) m=(2sin(A+C),√3) n=(cos2B,2cos^2(B/2)-1)
　　2sin(A+C)/cos2B=√3/[2cos^2(B/2)-1]
　　2sinB/[2cos^2(B)-1]=√3/cosB
　　sinB=√3cosB-√3/(2cosB)
　　tanB=√3-√3/2-√3/2(tanB)^2
　　√3/2(tanB)^2+tanB-√3/2=0
　　解得：tanB= -√3 tanB= √3/3
　　∴B=2π/3 B=π/6
(2)
　①当B=2π/3 时： a^2+c^2+ac=1
　　设a=kc 则： k^2c^2+c^2+kc^2=1 (k^2+k+1)c^2=1 c^2=1/(k^2+k+1)
　　S=1/2ac√3/2=√3/4kc^2=√3/4k/(k^2+k+1)
　　S'=√3/4(k^2+k+1-2k^2-k)/(k^2+k+1)^2
　　= √3/4(1-k^2)/(k^2+k+1)^2
　　令S'=0 得k=-1(舍去） k=1 面积最大值=√3/12≈0.1443
　②当B=π/6 时： a^2+c^2-√3ac=1
　　设a=kc 则： k^2c^2+c^2-√3kc^2=1 (k^2-√3k+1)c^2=1 c^2=1/(k^2-√3k+1)
　　S=1/2ac√3/2=√3/4kc^2=√3/4k/(k^2-√3k+1)
　　S'= √3/4(k^2-√3k+1-2k^2+√3k)/(k^2-√3k+1)^2
　　= √3/4(1-k^2)/(k^2-√3k+1)^2
　　令S'=0 得k=-1(舍去） k=1 面积最大值=√3/[4(2-√3)]≈1.6160
　　∴三角形面积最大值=√3/[4(2-√3)]≈1.6160