Question

统计学 一般正态分布如何转换成标准的正态分布

如果用z=(x-µ)/σ代入 一般正态分布的分布函数里，那么1/（2∏б）中的分母б如何去掉。一直想不通，求统计学高手！

Answer 1

一般正态分布的x值减去其均值再除以其西格玛水平所得的z值就是对应标准正态分布的x值。再通过标准正态分布表就可以算出其概率。这时候的z值也是这个一般正态分布在这个概率下的西格玛水平。

求证：假设X～N(μ,σ^2),则Y=(X-μ)/σ～N(0,1).

证明：因为X～N(μ,σ^2),

所以P(x)=(2π)^(-1/2)*σ^(-1)*exp{[-(x-μ)^2]/(2σ^2)}.

(注：F(y)为Y的分布函数,Fx(x)为X的分布函数）

而 F(y)=P(Y≤y)=P((X-μ)/σ≤y)

=P(X≤σy+μ)=Fx(σy+μ)

所以 p(y)=F'(y)=F'x(σy+μ)*σ=P(σy+μ)*σ

=[(2π)^(-1/2)]*e^[-（x^2)/2]

从而,N(0,1)

图形特征

集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。

关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

以上内容参考：百度百科-正态分布

Answer 2

一般正态分布的x值减去其均值再除以其西格玛水平所得的z值就是对应标准正态分布的x值。再通过标准正态分布表就可以算出其概率。这时候的z值也是这个一般正态分布在这个概率下的西格玛水平。
求证：假设X～N(μ,σ^2),则Y=(X-μ)/σ～N(0,1).
证明：因为X～N(μ,σ^2),
所以P(x)=(2π)^(-1/2)*σ^(-1)*exp{[-(x-μ)^2]/(2σ^2)}.
(注：F(y)为Y的分布函数,Fx(x)为X的分布函数）
而 F(y)=P(Y≤y)=P((X-μ)/σ≤y)
=P(X≤σy+μ)=Fx(σy+μ)
所以 p(y)=F'(y)=F'x(σy+μ)*σ=P(σy+μ)*σ
=[(2π)^(-1/2)]*e^[-（x^2)/2].
从而,N(0,1).

Answer 3

为什么要将Z带入一般正态分布的分布函数里？
如你所言，如果X服从N(µ,σ^2),那么Z也就服从标准正态分布N(0，1)啊.此时，Z的分布函数也就是标准正态分布的分布函数啊，其中，1/（2∏б）中的分母б=1.
一般正态分布的x值减去其均值再除以其西格玛水平所得的z值就是对应标准正态分布的x值。再通过标准正态分布表就可以算出其概率。这时候的z值也是这个一般正态分布在这个概率下的西格玛水平。
求证：假设X～N(μ,σ^2),则Y=(X-μ)/σ～N(0,1).
证明：因为X～N(μ,σ^2),
所以P(x)=(2π)^(-1/2)*σ^(-1)*exp{[-(x-μ)^2]/(2σ^2)}.
(注：F(y)为Y的分布函数,Fx(x)为X的分布函数）
而 F(y)=P(Y≤y)=P((X-μ)/σ≤y)
=P(X≤σy+μ)=Fx(σy+μ)
所以 p(y)=F'(y)=F'x(σy+μ)*σ=P(σy+μ)*σ
=[(2π)^(-1/2)]*e^[-（x^2)/2].
从而,N(0,1).

Answer 4

为什么要将Z带入一般正态分布的分布函数里？
如你所言，如果X服从N(µ,σ^2),那么Z也就服从标准正态分布N(0，1)啊.此时，Z的分布函数也就是标准正态分布的分布函数啊，其中，1/（2∏б）中的分母б=1.

追问

看下这个转化过程，为什么1/√2∏·б中的分母б怎么没有了

追答

因为作变量替换以后，t服从标准正态分布N(0，1)。第一个积分式子是用x表示的（积分上限和下限是x1和x2，后面的表达式是x的概率密度函数，所以式子中含有σ），第二个积分式子则是采用t表示的（所以积分上下限变为（x-µ)/σ，后面表达式是t的概率密度函数，此时σ=1）

追问

t=(X-μ_)/σ, 我仔细想了下，看看能不能这样想下：x-μ 将正态分布的位置改变了，现在的μ=0，而又除以σ， 改变了分散程度，现在的σ=1。所以。。。。。

追答

是的，你的理解部分正确。从统计角度而言，x-u是中心化，确实是改变了均值的位置，但是除以σ，只是将数据以σ为标准进行了重新测度（统计上称之为尺度化scale），注意此举并不能称之为改变了分散程度。实际上标准化的数据并不改变数据的分散程度。