Question

函数F（x）在（0，＋无穷大）上为增函数，当n属于正整数时 f（n）属于正整数 且f（f（n））＝3n ...

函数F（x）在（0，＋无穷大）上为增函数，当n属于正整数时 f（n）属于正整数 且f（f（n））＝3n 求f（5）

Answer 1

f(n)=(√3)n
证明：
(1)
假设存在n1∈N*，使得f(n1)＞(√3)n1，又因为f(x)单调增
则f(f(n1))＞f((√3)n1)
f(f(n1))=3n1，f((√3)n1)＞(√3)(√3)n1=3n1
于是3n1＞f((√3)n1)＞3n1.于是f((√3)n1)不存在，这与题意矛盾
于是不存在这样的n1
(2)
假设存在n2∈N*，使得f(n2)＜(√3)n2，又因为f(x)单调增
则f(fn2))＜f((√3)n2)
f(f(n2))=3n2，f((√3)n2)＜(√3)(√3)n2=3n2
于是3n2＜f((√3)n2)＜3n2，于是f((√3)n2)不存在，这与题意矛盾
于是不存在这样的n2
综上，任意n∈N*，都有f(n)=(√3)n
于是f(5)=5f√3
……………………
对于函数f(x)也可以这么做。