Question

求学霸速解，急需答案，谢谢

Answer 1

解：（1）由平行四边形AF1F2D知，Rt△AF1O≌Rt△DF2T
∴F2T=F1O=c
∴OT=2c
∵准线为x=a²/c
∴a²/c=2c
∴a²=2c²
∴a=√2c
∴e=c/a=√2/2
（2）∵b²=a²-c²=c²，
∴b=c
∴椭圆方程x²/a²+y²/b²=1
即x²/2c²+y²/c²=1
∴x²+2y²=2c²
∵F2(c，0)，D(2c，c)
∴直线F2D的方程为y=x-c
∴x=y+c
∴x²=y²+2cy+c²，代入x²+2y²=2c²得
y²+2cy+c²+2y²=2c²
∴3y²+2cy－c²＝0
∴y=-c(舍去)，取y=c/3
∴x=y+c=c/3+c=4c/3
∴M的坐标为(4c/3，c/3)
∵A(c，0)，T(2c，0)
∴向量TM=(-2c/3，c/3)=-1/3(2c，-c)
向量TA=(2c，-c)=-3向量TM
∴存在实数λ=-3，使向量TA=λ向量TM
（3）设△AF2B的外心为E（m，n）
AF2的中点为N
则N（c/2，c/2），
∵AF2⊥EN
∴kEN=-1/kAF2=1
∴直线EN的方程为y-c/2=1(x-c/2)
即y=x
∵点E（m，n）在直线EN上
∴m=n
∴点E为（m，m）
∵△AF2B的外接圆的半径为AE
∴该圆的面积为πAE²＝π[m²+(m-c)²]
=π(2m²-2cm+c²)=π[2(m-c/2)²+c²/2]
≥πc²/2
∴该圆的面积的最小值πc²/2
由已知，πc²/2＝4π
∴c²＝8
∴所求的椭圆的方程为x²/16+y²/8=1
由无锡神奇数学家教解答。