Question

f(x)=e^x,g(x)=lnx.求证g(X)<x<f(x),

帮帮忙f(x)=e^x,g(x)=lnx.求证g(X)<x<f(x),
设直线l与f(x),g(x)均相切，切点分别是（x1，f(x1)），（x2，g（x2）），且0＜x2＜x1，求证x1＞1。
？
这可是大题。

Answer 1

第一部分从图像看是很显然的结果，所以有很多办法。这里给一个。
设p(x)=x-g(x)=x-lnx，则p'(x)=1-1/x，p''(x)=1/x^2。当p'(x)=0时，x=1，p''(x)>0。所以此处有p(x)的最小值1-ln1=1>0。所以p(x)恒大于零，即x>lnx。同样可证另外一个不等式。或者两边同时取幂。
第二部分直线的斜率为(f(x1)-g(x2))/(x1-x2)=e^x1=1/x2。为了方便，下面用a=x1,b=lnx2。
则 (e^a-b)/(a-e^b)=e^a=e^-b，后面一半等式得到a=-b，代入前面一半消b，得到(e^a+a)/(a-e^-a)=e^a，整理，e^a=(a+1)/(a-1)。因为e^a恒大于0，所以a-1>0，a>1，即x1>1。