Question

已知函数f(x)=ax²+x–1+3a(a∈R)在区间[–1，1]上有零点，求实数a的取值范围

Answer 1

当a=0时 有f(x)=x-1在在区间[-1，1]上有零点
当a≠0时
△=1-4×a×（3a-1）≥0
解得-5/12≤a≤5/12
①当-1/2a≤-1时
a≥1/2
f(-1)≤0
f(1)≥0
解得0≤a≤1/2
此时a为空集
②当-1/2a≥1时
a≤-1/2
f(-1)≥0
f(1)≤0
解得a≤0或a≥1/2
此时a为空集
③当-1≤-1/2a≤1时
-1/2≤a≤1/2
由韦达定理得x1+x2=-1/a≤2
解得a≥-1/2
综合上述的-5/12≤a≤5/12
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Answer 2

ax^2+x-1+3a=0
a=0时，有x=1,符合
a≠0时，x≠1,1/a=(x^2+3)/(1-x)
记1-x=t, x=1-t,则0<t<=2
1/a=(1-2t+t^2+3)/t=t+4/t-2
由均值不等式，t+4/t>=2√(t*4/t)=4,当t=4/t,即t=2时取等号
因此t+4/t-2>=2
即1/a>=2,得：0<a<=1/2
所以综合得a的取值范围是[0,1/2]