Question

如图1，在平行四边形ABCD中，AB＞AD,角DAB与角ADC的平分线交于E,角ABC与角BCD的

如图1，在平行四边形ABCD中，AB＞AD,角DAB与角ADC的平分线交于E,角ABC与角BCD的平分线交于F。求证：EF=AB-BC

Answer 1

你可以这样：过点E作EG‖BF ∴∠ABF=∠AGE
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴∠BAD+∠ADC=180°，∠CBA+∠BDA=180°
∵AE、DE、BF为角平分线 ∴ADE+EAD=90°,∠BAE+∠ABF=90°
∴∠BAE+∠AGE=90°
∴∠DEA=∠AEG=90° ∴∠AEG+∠DEA=180°
∴D、E、G三点共线 并且AE为三角形ADG的垂线
又∵AE为三角形ADG的角平分线 ∴三角形ADG为等腰三角形 AD=AG=BC
同理 延长BF交CD于点H后，三角形BCH为等腰三角形 BC=CH CH为垂直平分线
∴EG=DE=DG／2 BF=FH=BH/2
很容易可以证明三角形ADG与三角形BCH相似 DG=BH
∴BF=EG
又BF‖EG ∴四边形BFEG为平行四边形
∴BG=EF
∴EF=BG=AB-AG=AB-BC
∴EF+BC=AB

Answer 2

四边形egfh是矩形，
理由：∵四边形abcd是平行四边形，
∴ad∥bc，
∴∠dab+∠abc=180°．
∵af，bf分别平分∠dab，∠abc，
∴∠fab+∠fba=
1
2
（∠dab+∠abc）=
1
2
×180°=90°．
∴∠afb=90°，
同理：∠e=90°，∠dga=90°，
∴∠fge=90°，
∴四边形egfh是矩形．