Question

如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l：y=x＋m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0，-1)，抛大神们帮帮忙

Answer 1

解：（1）∵直线l：y= 3 4 x+m经过点B（0，-1）， ∴m=-1， ∴直线l的解析式为y= 3 4 x-1， ∵直线l：y= 3 4 x-1经过点C（4，n）， ∴n= 3 4 ×4-1=2， ∵抛物线y= 1 2 x 2 +bx+c经过点C（4，2）和点B（0，-1）， ∴ 1 2 ×42+4b+c＝2 c＝1 ， 解得 b＝ 5 4 c＝1 ， ∴抛物线的解析式为y= 1 2 x 2 - 5 4 x-1； （2）令y=0，则 3 4 x-1=0， 解得x= 4 3 ， ∴点A的坐标为（ 4 3 ，0）， ∴OA= 4 3 ， 在Rt△OAB中，OB=1， ∴AB= OA2+OB2 = ( 4 3 )2+12 = 5 3 ， ∵DE∥y轴， ∴∠ABO=∠DEF， 在矩形DFEG中，EF=DEcos∠DEF=DE OB AB = 3 5 DE， DF=DEsin∠DEF=DE OA AB = 4 5 DE， ∴p=2（DF+EF）=2（ 4 5 + 3 5 ）DE= 14 5 DE， ∵点D的横坐标为t（0＜t＜4）， ∴D（t， 1 2 t 2 - 5 4 t-1），E（t， 3 4 t-1）， ∴DE=（ 3 4 t-1）-（ 1 2 t 2 - 5 4 t-1）=- 1 2 t 2 +2t， ∴p= 14 5 ×（- 1 2 t 2 +2t）=- 7 5 t 2 + 28 5 t， ∵p=- 7 5 （t-2） 2 + 28 5 ，且- 7 5 ＜0， ∴当t=2时，p有最大值 28 5 ； （3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°， ∴A 1 O 1 ∥y轴时，B 1 O 1 ∥x轴，设点A 1 的横坐标为x， ①如图1，点O 1 、B 1 在抛物线上时，点O 1 的横坐标为x，点B 1 的横坐标为x+1， ∴ 1 2 x 2 - 5 4 x-1= 1 2 （x+1） 2 - 5 4 （x+1）-1， 解得x= 3 4 ， ②如图2，点A 1 、B 1 在抛物线上时，点B 1 的横坐标为x+1，点A 1 的纵坐标比点B 1 的纵坐标大 4 3 ， ∴ 1 2 x 2 - 5 4 x-1= 1 2 （x+1） 2 - 5 4 （x+1）-1+ 4 3 ， 解得x=- 7 12 ． 综上所述，点A 1 的横坐标为 3 4 或- 7 12 ．