Question

已知三个实数a、b、c成等比数列,若a+b+c=1,则b的取值范围

已知三个实数a、b、c成等比数列,若a+b+c=1,则b的取值范围
A.[0，1/3] B.[-1,1/3]
C.[-1/3,0] D.[-1,0)U(0,1/3]

最好有步骤，谢谢！

Answer 1

ac=b^2
a+c=1-b
两边平方
a^2+c^2+2ac=b^2-2b+1
a^2+c^2=-b^2-2b+1

(a+c)^2>=0
所以a^2+c^2>=-2ac=-2b^2
所以-b^2-2b+1>=-2b^2
(b+1)^2>=0,成立

(a-c)^2>=0
所以a^2+c^2>=2ac=2b^2
所以-b^2-2b+1>=2b^2
3b^2+2b-1<=0
(b+1)(3b-1)<=0
-1<=b<=1/3
等比数列中没有0
所以选D

如果仅仅作为选择题
则等比数列中没有0
可以直接排除ABC

Answer 2

a=b/q
c=bq

a+b+c=1
b/q+b+bq=1
1/q+1+q=1/b
∵1/q+q≥2
∴1/q+1+q=1/b≥3
b≤1/3

又∵b^2=ac
∴b≠0
∴A,B,C都不成立,则答案是D

Answer 3

设比例为k，则b/a=c/b=k，
a=b/k，c=bk；
原方程可化为b/k+b+bk=1，
则b=1/(1+1/k+k),
若k为正，1/k+k∈[2,+∞),
b∈(0,1/3];
若k为负，1/k+k∈[-2,-∞),
b∈[-1,0).
答案为D

Answer 4

答案是D
详细过程如下：
设三个数分别为q，q^2,q^3,分别对应a，b，c
q+q^2+q^3=1
q^2(1/q+1+q)=1
因为1/q+q大于等于2或者小于等于-2
所以1/q+1+q大于等于3或者小于等于-1
所以q^2小于等于1/3
又因为q^2是个完全平方数，所以大于等于0
但q是公比，又不能是0
所以q^2的范围是[-1,0)U(0,1/3]

Answer 5

D
b^2=ac
a+c=1-b (a+c)^2=(1-b)^2
代入b^2=ac
3b^2+2b-1小于等于0
然后可以解出b大于-1小于1/3 又a b c 成等比 所以b 不能得0
答案大概是D