Question

如图,等边△ABC的边长为12,AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=4，EM+CM的最小值为__

请把F看成M
这是今天的期末考试题，我和同学有争议

Answer 1

在AB上取一点N，使AN＝AE＝4。
连CN，则CN、AD的交点就是使（EM＋CM）最小的点M。下面给出这一结论的证明：
在AD上任取点M外的一点G。
∵△ABC是等边三角形、BD＝CD，∴∠NAM＝∠EAM，又AM＝AM、AN＝AE，
∴△ANM≌△AEM，∴NM＝EM，∴EM＋CM＝NM＋CM＝CN。
∵AN、AC、∠CAN都是定值，∴CN是定值。
显然，在△GCN中，有：NG＋CG＞CN，∴M是满足要求的在AD上的使（EM＋CM）最小的点。

过C作CH⊥AB交AB于H。
容易得出：AH＝AB/2＝6，CH＝（√3/2）AC＝（√3/2）×12＝6√3，∴HN＝AH－AN＝6－4＝2。
由勾股定理，有：CN^2＝CH^2＋HN^2＝（6√3）^2＋2^2＝108＋4＝112，∴CN＝4√7。
∴（EM＋CM）的最小值是4√7。