Question

一条初中数学题（在线等，急！！！)

在三角形ABC中，角BAC为90°，AD是BC边上的高，E是BC边上一动点（不包括B.C点），EF垂直于AB，EG垂直于AC。

（1）FD是否垂直于DG？
（2）当AB等于AC时，三角形FDG为等腰直角三角形？

附图：http://hi.baidu.com/eigi/album/item/8af781192954256142a9ad3c.html

在线等，急！！！

Answer 1

(1)
三角形BAD与BCA相似（角角）
所以 BD/BA=AD/AC
所以 BD/AD=BA/AC
又 BF/FE=BF/AG=BA/AC(同样是相似）
所以BD/AD=BF/AG
又角B=角DAC（此处不用解释）
所以 三角形BFD与三角形AGD相似
所以 角BDF=角ADG
因为 角ADB=ADF+BDF=90
所以 ADG+ADF=90
所以FD垂直于DG

（2）
当AB=AC时，因为角BAC=90，所以三角形ABC是等腰直角三角形
此时AD有三线合一性【中线，高，角平分线】，且E与D重合
所以角BAD=角CAD，加上AD又是公共边，AB=AC
所以三角形DBA=三角形DCA
因D与E重合，故D垂直F，D垂直G，分别是三角形DBA，三角形DCA的高
因三角形DBA=三角形DCA，所以GD=GF
因为BAC=90，D垂直F，D垂直G，所以四边形AFDG是矩形，故FD⊥GD
因GD=GF，FD⊥GD，所以三角形FDG是等腰直角三角形

Answer 2

一楼“翰林文圣 十八级”在提问者的问题出笼2分钟后，就能洋洋洒洒给出解答，实在不能不令人觉得有自问自答嫌疑！
原来18级是这样修炼成滴~~~
qsmm 翰林文圣 十八级 一颗冉冉升起的新星！！！

Answer 3

(1)
△BAD与BCA相似
∴ BD/BA=AD/AC
∴ BD/AD=BA/AC
又 BF/FE=BF/AG=BA/AC
∴BD/AD=BF/AG
又角B=角DAC
∴ △BFD与△AGD相似
∴ 角BDF=角ADG
∵ 角ADB=ADF+BDF=90
∴ ADG+ADF=90
∴FD垂直于DG

（2）
当AB=AC时，
∵角BAC=90，
∴△ABC是等腰RT△
此时AD有三线合一性【中线，高，角平分线】，且E与D重合
∴角BAD=角CAD，加上AD又是公共边，AB=AC
∴△DBA=△DCA
∵D与E重合，故D垂直F，D垂直G，分别是△DBA，△DCA的高
∵△DBA=△DCA，
∴GD=GF
∵为BAC=90，D垂直F，D垂直G，
∴四边形AFDG是矩形，故FD⊥GD
∵GD=GF，FD⊥GD，
∴三角形FDG是等腰RT△

Answer 4

证明：
∵AD⊥CD，EG⊥AC
∴△CGE∽CDA
∴CG/AD =GE/AD
∵GE =AF
∴CG/AD =AF/AD
易证∠C=∠BAD
∴△CDG∽△ADF
∴∠ADF=∠CDG
∵∠CDG+∠ADG=90°
∴∠ADF+∠ADG=90°
即∠GDF =90°
∴GD ⊥DF
(2)
由（1）可得△CDG∽△DAF
当AC=AB时，CD=BD
∴△CDG≌△DAF
∴DG=DF
∴△DFG是等腰直角三角形

Answer 5

这种问题运用四点共圆来弄最好做了。
根据∠ADF=∠EFB=90°得ADEF四点共圆，同理可得AGDF四点共圆，因此AGDEF五点共圆，并且有很好的条件∠GAF=90°，所以GF是直径，因此也有∠GDF=90°，所以FD⊥DG；

由（1）过程知AGDF四点共圆所以∠GFD=∠GAD=45°（AB=AC，AD⊥BC易得∠GAD=45°）
而（1）已证FD⊥DG，所以△FDG是等腰直角三角形

http://baike.baidu.com/view/837557.htm
四点共圆的技巧学会很多这种几何题会变得相当简单，强烈推荐想学好数学的人应该掌握
同时支持楼上的说法，不过一楼的不是最好的解法，那么麻烦长的东西两分钟内输入确实有得怀疑之处。

Answer 6

垂直，证明三角形DAG相似于DBF（先作外接圆），然后等量代换
是，此时D为BC上中点

或者用设立未知数死解也可以，但是对运算能力要求比较高，而且也是要用到几何思想，不能转换为纯代数。
恩，我高三了，真是很久不碰这些平面几何了，这个答案不保证正确，只是提供思路而已（不能用高中解法很痛苦啊）
补充下 ，一早去问老师怎么做，自己学的效果好一点不说，老师绝对会对你有好映像哦，不过等他来问你为什么不做就不一样了...