Question

高一数学：若函数f(x)=log a(x+√x²+2a²）是奇函数，则a=

这题很多人会把f(0)=0代进去，但我有点想不通，这是个对数函数啊，定义域不就是0到正无穷吗？而且对数函数非奇非偶，不存在奇偶性吧？为什么说它是个奇函数？这点我就想不通，做这类题目，另外还有一个疑问，书上的解答过程，请数学好的大神帮帮忙，等会还要追问的！

Answer 1

解首先这函数外型是对数函数，但并不是真正的对数函数，
注意观察函数f(x)=log a(x+√x²+2a²）
自变量x满足(x+√x²+2a²）＞0
此时x属于R
即函数f(x)=log a(x+√x²+2a²）的定义域为R，
这就说明f（x）可以是奇函数，
注意到0在奇函数的定义域内
则f（0）=0
即f(x)=log a(0+√0²+2a²）=0
即(0+√0²+2a²）=1
即2a^2=1
即a^2=1/2
即a=±√2/2，
由a是底数a＞0
知a=√2/2
这种做法有个不好的地方，
若求出的a有1个，则此时a一定是题目答案，要不此题就无解了，
但是若求出的a有2个，则则一般需要验证两个a，是否满足f（-x）+f（x）=0，
不能满足f（-x）+f（x）=0的a舍去
此法做小题好
此题还有零一种通用解法
由f（x）是奇函数，
则f（-x）+f（x）=0
即log a(（-x）+√（-x）²+2a²）+log a(x+√x²+2a²）=0
即log a(（-x）+√（-x）²+2a²）(x+√x²+2a²）=0
即log a(（√（-x）²+2a²）^2-(-x)^2）=0
即loga（2a^2)=0
即2a^2=1
即a^2=1/2
即a=±√2/2，
由a是底数a＞0
知a=√2/2
这种方法解出的a不用讨论。此法做大题好。

Answer 2

首先这道题的定义域是实数集R，因为X<0时：

x+√x²+2a²
=x+(-x)+2a²
=2a²，只要a不等于0，2a²>0的，满足定义要求。

接下来：

奇函数定义域关于原点对称，如果f(0)存在，则:

f(0)=0

即当奇函数的定义域中包含0时，f(0)=0.

因为 f(-x)=-f(x)
将　x=0代入　，得　f(0)=-f(0),从而f(0)=0

所以：
0=loga (2a²)

2a²=1

a=√2/2

Answer 3

不能仅仅因为看到有对数符号，就认为定义域是(0,+∞)！就认为是非奇非偶函数！！

很显然，这是一个“复合函数”，不单单是简单的对数函数。

试想一下：f(x)=lg(x²)的定义域是什么？它是不是非奇非偶函数？！