Question

判断并证明f(x)=x/x²+1在(0,﹢∞)上的单调性

Answer 1

f(x)在(0,1]上是增函数，在[1,+∞)是减函数.证明如下：
f(x1)-f(x2)=x1/(x1^2+1)-x2/(x2^2+1)
=[x1(x2^2+1)-x2(x1^2+1)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=[x1x2(x2-x1)+x1-x2]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=(x2-x1)(x1x2-1)/[(x1^2+1)(x2^2+1)],
设0<x1<x2<=1,则x2-x1>0,x1x2<1,x1x2-1<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(0,1]上是增函数。
同理，f(x)在[1,+∞)是减函数。

Answer 2

大学里采用导数进行判断。中学直接做减法即可。
设0<x1<x2,f(x1)-f(x2)对结果进行通分后比较分子的不同可能；
任意得到，x>1时，递减；0<x<1递增。