Question

二次函数f(x)=ax2+bx+c在[-2，2]≥上的最大值和最小值分别是M和m集合A={x|f(x)=x}若A={2}且a≥1g(a)=M+m

]设二次函数f(x)=ax2+bx+c在[-2,2]上的最大值和最小值分别是M和m,j集合A={X|f(x)=x}.若A={2}且a≥1,记g(a)=M+m，求g(a)的最小值

Answer 1

解：（1）由f（0）=2可知c=2，
又A={1，2}，
故1，2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两实根．
∴1+2=(1-b)/a;2=c/a;
解得a=1，b=﹣2
∴f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
因为x∈[﹣2，2]，根据函数图象可知，
当x=1时，f（x）min=f（1）=1，即m=1；
当x=﹣2时，f（x）max=f（﹣2）=10，即M=10．
（2）由题意知，方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两相等实根x1=x2=1，
根据韦达定理得到：1+1=(1-b)/a;1=c/a;，即c=a,b=1-2a，
∴f（x）=ax2+bx+c=ax2+（1﹣2a）x+a，x∈[﹣2，2]
其对称轴方程为x=(2a-1)/2a=1﹣1/2a
又a≥1，故1﹣1/2a在区间【1/2,1）

∴M=f（﹣2）=9a﹣2m=f(2a-1/2a)=1-1/4a
则g（a）=M+m=9a﹣1/4a﹣1
又g（a）在区间[1，+∞）上为单调递增的，
∴当a=1时，g（a）min=  31/4