Question

顶级数学专家都证明不了的问题

二维平面上存在N个点，每点用任意连续的线段相连接，线段之间不出现相交的情况下则最多存在4个这
样的点;请问以上叙述是否正确，若正确请证明。

Answer 1

最多只有四个点——根据大学数学的连通性，与内点知识。

证明：首先令四个点为ABCD则由连接线围成三个封闭空间α，β，γ（可以看图）

分类分析

1. 封闭空间α，β，γ的内点与内点之间不存在连通性，即如果存在第五点E，它肯定不存在与三个区间里面。

2. 如果存在第五点E在封闭区间的交界线上，但是又由于它阻断了原有的连通性（比如原来AB是连通的，现在中间插入点E，则会阻断原有的连通性）。

3. 如果存在第五点E在三个区间外，则由区间的封闭性，三个区间的共同交点与Cu（α，β，γ）隔离，不存在连通性。
   

因此不存在第五点E

追问

内点与内点之间不存在连通性 什么意思？
还有第三点你得证明4点相连必有一点在封闭区内

Answer 2

任取三点存在两点间有线段，说明任意三点不在一条直线上，保证两点间都有线段，共有n个点可以向其他n-1个点连接线段，就是n*(n-1)个，线段是两点共同的所以重复一半 ，再除以2，也就是n*(n-1)/2条线段，要是出现三点或者以上的点再同一直线上就要另外考虑，要减去重复的线段。

追问

我想问的是能否存在5个点或更多的点符合上面的情况，点与其他点连接，连接线不能相交

追答

如果全是是平行线呢哈哈

Answer 3

这是在侮辱数学专家吗 好的，我同意
目测用反证法，只要证明5个点不行就可以了。5个点不行，考虑一下区域划分，在借助几个公理就差不多了。

追问

理解正确，求解答
这是一位程序猿给的问题，希望有能力的帮忙解决下
懂数学懂物理的最好了

追答

要详细严格证明我也给不出，可能要参考图论的公理。思路如下：
已知：二维平面，5个任意不重合的点，任两点之间用任意但不重合的连续曲线连接，而且两点的连线不能经过剩余3点。求证：必然存在有两根连线，相交且交点是最初5点以外的点。
证明：1，定义：“连好了”，指的就是按已知的连，满足没有相交且交点是最初点以外的点。（为了叙述方便）
2，针对4个点，在保持“练好了”的性质不变的前提下，都可以通过改变线的长度和弯曲等价为三角形顶点和三角形内的点相连。（自己证明某些操作不会改变“连好了”，比如在不与其他线相交的情况下，任意挪动某点的位置，任意改变线的形状和长度）
3，对5个点情形，任取4个点，根据2按2的位置等价摆好且满足第5个点不在各边上。然后证明无论第5个点在哪儿，都不成立。（可能要用XXX公理）
证毕

Answer 4

好题目，不会做，但我会一直关注。