Question

问题如图，请详细解答。

Answer 1

（1）设OD=t，AD=4-t，AE=t，
S△ODEBC=S△ABCD-S△DAE
=4×3-12AD•AE
=12-1/2(4-t)t
=1/2t2-2t+12（3分）

（2）∵S=1/2t2-2t+12
∴-b2a=-21=2
∴当t=2时，S有最小值；
此时：D（2，0）、E（4，2），
①当P在x轴上时，设P（a，0），
此时：DE2=AD2+EA2=22+22=8，
EP2=（a-4）2+22=a2-8a+20，
DP2=（a-2）2=a2-4a+4，
∴当DE2=EP2时，8=a2-8a+20，
∴a2-8a+12=0，
（a-2）（a-6）=0，
∴P（2，0），P1（6，0），
∵P（2，0）与D重合
∴舍去，
当EP2=DP2时，a2-8a+20=a2-4a+4，
16=4a，
a=4，
∴P2（4，0），
当DE2=DP2时，8=a2-4a+4a2-4a-4=0
a=4±422=2±22，
∴P3(2+22，0)P4(2-22，0)，
②当P在y轴上时，设P（0，b），
则DP2=22+b2=b2+4EP2=42+（b-2）2=16+b2-4b+4=b2-4b+20
DE2=8，
∴当DP2=EP2时，b2+4=b2-4b+20
4b=16，
b=4，
∴P5（0，4），
当EP2=DE2时，b2-4b+20=8b2-4b+12=0b2-4ac＜0，
∴无解．
当DP2=DE2时，b2+4=8，
b2=4，
∴b=±2，
∴P6（0，-2）（舍DEP三点重合），
∴综上共有6个这样的P点，
使得△PDE为等腰三角形．
即P1（6，0），P2（4，0），P3(2+22，0)，P4(2-22，0)，P5（0，4），P6（0，2）．

（3）设AE=t，则BE=3-t．BF=BE=3-t，AD=4-t，
∴CF=4-BF=t+1，
过D作DP⊥BC于P．
则：CP=OD=t，
∴PF=1，
又DP=3，
∴DF=10，
∴DE=DF=10，
∴在Rt△DAE中，AD2+AE2=DE2，
∴（4-t）2+t2=10，
∴t2-8t+16+t2=10，
2t2-8t+6=0，
t2-4t+3=0，
∴t1=1，t2=3（舍），
∴t=1（9分），
∴E（4，1），F（2，3），
∵E关于x轴的对称点E′（4，-1），F关于y轴的对称点F′（-2，3），
则E′F′与x轴，y轴的交点即为M点，N点．
设直线E′F′的解析式为y=kx+b（k≠0），
则{4k+b=-1-2k+b=3，
∴{k=-2/3 b=5/3，
∴y=-2/3x+5/3．（10分）
∴M（5/2，0），N（0，5/3）．（12分）
此为标准答案，希望可以帮到你。