Question

关于单次积分 转化为二重积分

在高数下册 二次积分那一章有一道例题 是讲的 利用二重积分做 e^(-x^2)的积分 他是把-(x^2)化为-(x^2+y^2)做二重积分做的
问 为什么 dx可以转化为dxdy?
另外 这种算法 除了 做这种题 还有其他什么应用?

Answer 1

二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
我觉得你对二重积分的认识还不够，你可以参考一下下面的资料。 图看不了，可直接去看http://www2.tust.edu.cn/jingpin/gdsx/ja/z9/z9-3.htm
关于二次积分，很久没用了，我也不能给你说很明白，但我上学时，感觉积分并不难。它的作用非常广泛，比如求面积，规则的我们可以用高中学的公式，但世间毕竟不规则的物体更多，那就需要用积分。一次积分解决不了，就得用多重积分了。先把概念弄清楚，再多看些例题，它的应用你自然就明白了。
一、知识要点回顾

1．二重积分的定义；

2．二重积分的几何意义及其物理模型；

3．二重积分的性质： (1) 线性性质； (2) 区域可加性； (3) 比较定理； (4) 单调性； (5) 估值不等式； (6) 二重积分的中值定理．

4．直角坐标系下二重积分化二次积分

(1) X型区域特点及积分区域为X型区域时化二重积分为二次积分；

(2) Y型区域特点及积分区域为Y型区域时化二重积分为二次积分；

5．极坐标系下二重积分的计算

(1) 何种二重积分适宜选择极坐标计算，要从积分区域和被积函数两方面考虑；

(2) ．

二、练习

1．利用二重积分的性质估计积分

分析 用二重积分的性质中的估值不等式，需要先找到被积函数在 上的最大值及最小值．

解 在 上有

，

故在 上 ，又 的面积 ，从而由二重积分的估值不等式得

．

2．交换 的积分次序．

2

1

-1

1

4

y

x

O

图1

分析 要交换积分次序，必须先找到积分区域，这需依已知条件给出，由于已知是先对 后对 的二次积分，因此它是把积分区域看作Y—型区域化成的二次积分． 为交换积分顺序，就要把积分区域看作X—型区域． 我们先由已知条件确定出积分区域，然后按X—型区域化成二次积分．

解 由题目条件，积分区域 被直线 及曲线 所围成，由此描出 (如图1)． 题目所给的二次积分是把 看作Y—型区域所得到的，改变积分次序就是要把 看作（必要时分割 为几部分）X—型区域．

显然 可以看作X—型区域，但此时，其下边界为由抛物线 及直线 衔接而成的分段光滑曲线，为此需要把 作分割．

解方程组

,

求得交点为 及 ，作直线 将 分成 两部分． 按X—型区域，它们分别表示为

在 上分别将二重积分化为二次积分并依据区域可加性得

图2

．

小结 (1) 交换积分次序的实质是把积分区域看作另一类型的区域，如果积分区域不能看作另一类型的区域，要将其分割为几个子区域，使每个子区域皆可以看作另一类型区域． 例如，设 是由曲线 所界定的区域，显然它是Y—型区域，而不是X—型区域． 为此我们用 轴把它分成三个小子区域（图2）其中每个都是X—型区域．

(2) 当一个区域看作X—型区域时，如果上或下边界方程中（至少）有一个是分段函数，要做平行 轴的直线把它分为几个小区域，使每一个子区域的上下边界方程皆不出现分段函数． 类似地，若左右边界方程中出现分段函数时，做平行于 轴的直线将区域分割．

3．计算积分 ，其中 由曲线 及直线 所围成的区域．

D

图3

分析 积分区域 如图3的阴影部分所示，它既可以看作X—型区域，也可以看作Y—型区域． 若看作X—型区域，将会出现

(1) 区域的上边界由两条直线衔接而成，这就需要将区域进行分割，产生麻烦．

(2) 由于X—型区域需要化成先对 的积分, 但对 来说，这也是困难的．

为此，我们把 按Y—型区域处理．

解 先求出 的各顶点，它们是各条边的交点，为此解方程组

得顶点坐标分别是 ．

把 看作Y—型区域，则有

于是

图4

4． 计算 ，其中 为由直线 与曲线 所围成的区域．

分析 首先我们注意到被积函数 的原函数不能求出，故我们应该避开先对 积分，即不能把 看作X—型区域，因此把 看作Y—型区域．

解 将 看作Y—型区域，见图4 ，解方程组

得 的两个顶点是 ， 可表示为 ， 于是

小结 由练习题3、4可以看出，把一个区域是看作X—型区域还是Y—型区域

(1) 首先注意被积函数的特点, 一定要避开无法计算的积分出现, 如 等, 或者说尽可能使积分易“积”出来．

(2) 在被积函数没有特殊要求时，要尽量避免某侧边界是分段函数，即尽可能避免某侧边界是 条曲线相衔接而成的分段光滑曲线，实在避免不开的，应采用题2所给的“切块法”．

(3) 求积分区域在坐标轴上的投影，一般往往通过解相邻两边的方程所组成的方程组求区域的顶点来确定．

5．计算二次积分 ．

分析 若直接计算题目所给的二次积分，将首先遇到求 的原函数的问题，它是无法计算的，因此，应将二次积分先还原为二重积分，再根据积分区域的特点，选择适当的方法．

解 由所给的二次积分，我们得积分区域 ，其中

x

O

y

R

D1

D2

y=x

图5

是一个中心角为 ，半径为 的扇形（图5）．因此可以采用极坐标计算，在极坐标系下，有

因此

小结 (1) 计算二重积分时，适当选择坐标系和积分次序是非常重要的，它不仅影响到计算的繁简，甚至会影响到计算能否进行．

(2) 化直角坐标系下的二重积分为极坐标系下的二重积分时，一般应

1) 首先把积分区域的边界方程用极坐标表示；

2) 确定 的范围，即在极坐标系下表示积分区域；

3) 用 分别代换被积函数中的 ，并把面积元素用 替代．

6．计算二重积分 ，其中 是直线 及上半圆周 所围成的区域．

分析 被积函数中含有因子 ，它用极坐标表示非常简单，积分区域的边界含有圆周，而圆周用极坐标表示也非常简单，故我们将所给的二重积分化为极坐标来计算．

解 在极坐标系下， 的边界方程分别表示为（图6）

图6

因此这时 可表示为

于是

．

小结 采用何种坐标计算二重积分，要从积分区域及被积函数两方面出发．当积分区域为圆域、圆环域、扇形域或圆环域被从原点出发的两条射线所截得的部分；被积函数为 等形式时可考虑采用极坐标．

不适合极坐标者用直角坐标．

7．计算 ，其中 ．

分析 积分区域为圆形域，因此可考虑采用极坐标计算，注意到积分区域关于 都是对称的，而被积函数中 关于 都是奇函数， 关于 是偶函数，因此我们先用积分区域关于坐标轴的对称性以及被积函数的奇偶性简化运算．

解 ，由于 关于 轴对称，被积函数 关于 是奇函数， 是偶函数，又 为圆域 ，故

又 的面积为 ，故

,

于是

．

小结 (1) 计算二重积分时，要注意利用积分区域关于坐标轴的对称性，同时被积函数关于某相应变量的奇偶性简化运算．

(2) 当被积函数为两一元函数乘积，且各变量的上下界皆为常数时，把重积分化为二次积分后，可分别各自独立的计算两个定积分，然后将结果相乘．

8．计算 ，其中 ．

分析 由于被积函数中含有绝对值号，故必须先去掉绝对值号，才能进行计算．在 中 的符号是不确定的，为此根据被积函数的特点，将区域 进行分割(见图7)，从而使得 在每个子区域上有确定的符号．

x

O

y

D1

D2

D2

-1

1

图7

解 抛物线 将 分成上下两部分，分别记作 ，于是

．

小结 被积函数中含有绝对值时，必须首先设法将绝对值符号去掉，如果在积分区域内，绝对值号内的式子的符号不确定，应依据绝对值号内的式子的特点添加辅助线把区域进行分割，使得在每个子区域内该式有确定的符号．

当被积函数含有偶次根式或被积函数为一般分段函数时，也往往要考虑将积分区域进行分割．

Answer 2

这题就此一法，很经典的例题，最好背下来。其实这个积分就是标准正态分布的推导公式，以后用得着的。

（1）要求那一个定积分，我们把它写成自己的平方再开根号。
A=根号下{[∫e^(-x^2)dx]*[∫e^(-x^2)dx]}

（2）接下来发现大括号里面是两个式子的乘积，我们可以人为的改变一个式子的积分变量，把它变成y，反正最后积分完成时，变量是被积掉没有的。
于是A=根号下{[∫e^(-x^2)dx]*[∫e^(-y^2)dy]}

（3）到此用我们用二重积分的性质：
由于二重积分∫∫e^(-x^2)*e^(-y^2)dxdy可以写成∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy，我们就将它反过来用，把两个单次积分写成一个二重积分：
A=根号下（∫∫e^(-x^2)*e^(-y^2)dxdy）
=根号下（∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy）

（4）接下来就是变成极坐标运算，我就不多说了。

Answer 3

∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy=(∫e^(-x^2)dx)*(∫e^(-y^2)dy)=(∫e^(-x^2)dx)^2