Question

求大神解第十题

Answer 1

10.过椭圆x²/4+y²/3=1的左焦点F₁作直线L交椭圆与P、Q两点，F₂为右焦点，求∣PF₂∣•∣QF₂∣
的最值。
解：椭圆参数：a=2，b=√3，c=1；F₁(-1，0)；F₂(1，0)；
∣PF₁∣+∣PF₂∣=2a=4，故∣PF₂∣=4-∣PF₁∣...............(1)
∣QF₁∣+∣QF₂∣=2a=4，故∣QF₂∣=4-∣QF₁∣..............(2)
两式相乘得：
∣PF₂∣•∣QF₂∣=(4-∣PF₁∣)(4-∣QF₁∣)=16-4(∣PF₁∣+∣QF₁∣)+∣PF₁∣•∣QF₁∣
≦16-4(∣PF₁∣+∣QF₁∣)+(1/4)(∣PF₁∣+∣QF₁∣)²=16-4∣QP∣+(1/4)∣PQ∣²
=[(1/2)∣PQ∣-4]²，
当且仅仅当∣PF₁∣=∣QF₁∣时等号成立，此时PQ⊥x轴，x=-1，y²=3(1-1/4)=9/4，∣y∣=3/2，∣PQ∣=2∣y∣=3；故max[∣PF₂∣•∣QF₂∣]=[(3/2)-4]²=25/4.
当PQ与x轴重合时，∣PF₂∣•∣QF₂∣获得最小值；此时∣PF₂∣=2+√3；∣QF₂∣=√3-1；即
min∣PF₂∣•∣QF₂∣=(2+√3)(√3-1)=2√3+3-2-√3=1+√3.