Question

将如下非基本初等函数展开成无穷级数

y=(1+1/x)^x

y=x^x
要求说明能否展开，展开过程，以及收敛域。

Answer 1

不能。因为这两个函数在 x=0 处没定义，更不用说导数存在了。

追问

导数和展开式有关吗？

追答

当然，没有导数如何展开？

追问

展开只能用导数？怎么可能？
x^x 可以近似成1+xlnx+...+x^nln^nx/n!+Ο(x^(n+1)),肯定有展开。
（1+1/x)^x可以近似成1+xln(1+1/x)+...+x^nln^n(1+1/x)/n!+Ο(x^(n+1))，也肯定有展开。

追答

　　x^x 可以近似成1+xlnx+...+x^nln^nx/n!+Ο(x^(n+1))？　　
　　(1+1/x)^x可以近似成1+xln(1+1/x)+...+x^nln^n(1+1/x)/n!+Ο(x^(n+1))？
有这个吗？真没见过。
　　f(x) 在 x=0 的幂级数是
　　　　∑(n≥0){[f^(n)](0)/n!}(x^n)，
这两个函数在 x=0 不可导，怎么展开？

追问

e^x是可以展开的，那a^x也是可以展开的，如果a作为一个关于x的变量，也有相同的展开方法，即第n项为x^nln^na/n!，即使x=0不可导，总存在可导点。
你说的是麦克劳林级数，是x=0时的特例，泰勒级数是x=x0时，第n项f^(n)(x0)/n!(x-x0)^n。
上面说的方法是用函数夹逼函数，所以可能不是很好算，所以问一下算的方法。

追答

　　取 x0≠0，确实可以展开成Taylor 级数，算几个低阶导数还行，但是否有能力写出其各阶导数是一个大问题，至少本人没那个能力。

追问

那就算了吧，这些确实又无聊又难算。

那就算了吧，这些确实又无聊又难算。