Question

已知a∈R，函数f（x）=x²|x-a|

求函数f（x）在区间【1，2】上的最小值
急！！！！！

Answer 1

画的这两个是a<0和a>0时的图像曲线。粗线是横轴，省略了纵轴。

f(x)=x^3-ax^2，(x>=a)

       ax^2-x^3   (x<a)

根据f'(x)=3x^2-2ax    (x>=a)

              2ax-3x^2     (x<a)

令f'(x)=0，得到两个极值点x=0或2a/3

(1)

当a<0的时候，

两个极值点都在a的右侧，画出图来，就是第一个图。

那么[1,2]区间在0的右侧，处于增区间上，

此时最小值是f(1)=1-a

(2)

当a>=0的时候，两个极值点都在a的左侧，划出来是第二个图。

<1>若0<=a<=1，那么[1,2]区间在a的右侧，处于增区间上，

此时最小值是f(1)=1-a

<2>

若1<a<=2的时候，此时最小值点必然为f(a)=0

<3>

若a>2

此时f(1)=a-1，f(2)=4(a-2)

若a-1>=4(a-2)

即2<a<=7/3时，

最小值为f(2)=4(a-2)

若a-1<4(a-2)

即a>7/3时，

最小值为f(1)=a-1

综上，

a<=1，最小值为f(1)=1-a

1<a<=2，最小值为f(a)=0

2<a<=7/3，最小值为f(2)=4(a-2)

a>7/3，f(1)=a-1

分成四段来讨论

追问

a=0？？？

追答

a=0的，包含在a<=1中，a=0是个开口朝上的偶函数，
最小值也是f(1)=1-a

Answer 2

f(x)=x²|x-a|
f'(x)=2x|x-a|+x²|1-a|
驻点 x=0, x=a=1
设t>0,
因为f'(1+t)=2(1+t)|1+t-a|+(1+t)²|1-a| 总大于0，
所以在区间[1,2]上是增函数，所以
在此区间的最小值就是 f(1)=|1-a|

追问

情况多一些吧 驻点什么意思 请用高中文科知识解答

Answer 3

显然有f(x）>=0,讨论a:
1)当a在区间[1,2]时，f(a)=0为最小值
2)当a>2时，f(x)=x²(a-x), 由f'(x)=2ax-3x²=x(2a-3x)，得x=0,2a/3,其中f(0）为极小值，f(2a/3)为极大值
因此最小值只能在端点取得，又f(1)=a-1, f(2)=4(a-2)， 解不等式：a-1<=4(a-2)得：a>=7/3
即当a>=7/3时，最小值为f(1)=a-1;
当2<a<7/3时，最小值为f(2)=4a-8.
3)当a<1时，f(x)=x²(x-a), 由f'(x)=3x²-2ax=x(3x-2a)=0,得x=0, 2a/3, 因a<1, 故2a/3<1, 所以[1,2]区间必为单调增区间，最小值为f(1)=1-a.

追问

不止这么点情况吧

追答

题目是x²|x-a| ,还是x²+|x-a|

追问

x²|x-a|

追答

那就是上面讨论的三种情况（只不过第2种情况再细分为2种罢了)

追问

细分一下

追答

不懂，还咋分