Question

设A是正交矩阵，绝对值A=-1，证明－1是A的特征值。

谢啦

Answer 1

正交矩阵是实矩阵。①。它的特征值的模都是1。

②。它的特征值除±1外，一定是成对出现的共轭虚数（特征方程为实系数）。

每一对之积为1（模平方）。

注意|A|＝全体特征值的积。而|A|＝-1.

如果A没有实特征值，将共轭的特征值按对乘之，积都是1，全体乘起来，还是

1.从而得到|A|＝1，矛盾。

如果A有实特征值。但只有1，没有-1.与上面情况一样，也有|A|＝1，不可。

所以A必有特征值-1.

Answer 2

反证法：
因为正交阵特征值的模均为1，且复特征值成对出现，所以若1不是a的特征值，那么a的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。注意到a是奇数阶的，所以除去成对出现的复特征值后必有奇数个特征值
-1.
这样，利用矩阵a的所有特征值之积就等于矩阵a的行列式
deta
可知：这奇数个-1与成对出现的复特征值之积为
deta=1.
但是，奇数个-1的乘积为
-1，成对出现的复特征值之积为1，它们的乘积也是-1，与
deta=1
矛盾。因此假设不成立，1必为a的一个特征值。