Question

已知小正方形ABCD的边长为根号2,把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1,

把正方形A1B1C1D1边长按原方法延长一倍得到正方形A2B2C2D2.一次下去得到对应正方形AnBnCnDn，给过程

Answer 1

假定正方形ABCD的位置如下所示： D C
A B

则以AB为X轴，AD为Y轴，A为原点建立坐标系，由已知条件可得AB=AD=√2，所以AC=2；
正方形A1B1C1D1的边长为2√2，A1C1长为4,；
正方形A2B2C2D2的边长为4√2，A1C1长为8,；
由此类推，正方形AnBnCnDn的边长为(2^n)*√2，AnCn长为2^(n+1)；
尺规作图的话就是：
1、作一直线l1 ；
2、作l1的垂线l2 ，垂足为A；
3、作l1、l2的角平分线AC，取一定长度值定义为2，即定义AC=2
4、以C为原点，作CC1=CA，获得点C1；以A为原点，AC1长为半径画圆，交l1、l2于点B1、D1，连线B1C1、C1D1即获得正方形AB1C1D1
5、同理，只要令CkCk+1 = CkA，ACk+1为半径画圆，交l1、l2于点Bk+1、Dk+1，连线得到新正方形