Question

若二项式 ( x + 1 2 4 x ) n 的展开式中，前三项的系数成等差

若二项式 ( x + 1 2 4 x ) n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求：（Ⅰ）展开式中含x的项；（Ⅱ）展开式中所有的有理项．

Answer 1

二项式的展开式的通项公式为： T r+1 = C rn ( x ) n-r ( 1 2 4 x ) r = C rn 1 2 r x 2n-3r 4 前三项的r=0，1，2 得系数为 t 1 =1， t 2 = C 1n ? 1 2 = 1 2 n， t 3 = C 2n ? 1 4 = 1 8 n(n-1) 由已知： 2 t 2 = t 1 + t 3 ，n=1+ 1 8 n(n-1) 得n=8 通项公式为 T r+1 = C r8 1 2 r x 16-3r 4 （I）令16-3r=4，得r=4，得 T 5 = 35 8 x （II）当r=0，4，8时，依次得有理项 T 1 = x 4 ， T 5 = C 48 1 2 4 x= 35 8 x， T 9 = C 88 1 2 8 x -2 = 1 256 x 2