（2013?温州一模）如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC，（Ⅰ）求证：PA∥平
（2013?温州一模）如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC，（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；（Ⅱ）若PQ⊥平面QBC，求CQ与平面...
（2013?温州一模）如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC，（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；（Ⅱ）若PQ⊥平面QBC，求CQ与平面PBC所成角的正弦值．
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（Ⅰ）证明：过点Q作QD⊥BC于点D，
∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC．
又∵PA⊥平面ABC，
∴QD∥PA，
又∵QD?平面QBC，PA?平面QBC，
∴PA∥平面QBC．
（Ⅱ）∵PQ⊥平面QBC，
∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，
∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．
∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC．
∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD．
∴四边形PADQ是矩形．
设PA=AB=AC=2a，
则PQ=AD=
a，PD=
a．
又∵BC⊥PA，BC⊥PQ，∴BC⊥平面PADQ，
从而平面PBC⊥平面PADQ，过Q作QH⊥PD于点H，则QH⊥平面PBC．
∴∠QCH是CQ与平面PBC所成的角．
在Rt△PQD中，PQ?QD=PD?QH，则QH=
=
a，CQ=BQ=
a．
∴sin∠QCH=
＝
×
∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC．
又∵PA⊥平面ABC，
∴QD∥PA，
又∵QD?平面QBC，PA?平面QBC，
∴PA∥平面QBC．
（Ⅱ）∵PQ⊥平面QBC，
∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，
∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．
∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC．
∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD．
∴四边形PADQ是矩形．
设PA=AB=AC=2a，
则PQ=AD=
| 2 |
| 6 |
又∵BC⊥PA，BC⊥PQ，∴BC⊥平面PADQ，
从而平面PBC⊥平面PADQ，过Q作QH⊥PD于点H，则QH⊥平面PBC．
∴∠QCH是CQ与平面PBC所成的角．
在Rt△PQD中，PQ?QD=PD?QH，则QH=
2?
| ||
|
2
| ||
| 3 |
| 6 |
∴sin∠QCH=
| QH |
| CQ |
2
| ||
| 3 |
| 1 |
