Question

在△ABC中，a，b，分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（1）求A的大小； （

在△ABC中，a，b，分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（1）求A的大小； （2）若a=4，求b+c的最大值．

Answer 1

（1）将2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，
利用正弦定理化简得：2a²=2（b+c）b+（2c+b）c，
整理得：b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=

b2+c2?a2

2bc

=-

1

2

，
则A=120°；
（2）∵a=4，cosA=-

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即16=b²+c²+bc，
∴（b+c）²-16=bc≤（

b+c

2

）²，
∴b+c≤

8 3

3

，当且仅当b=c时，等号成立，
则b+c的最大值为

8 3

3

．