Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a+cb＝sinA?sinBsinA?sinC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求a+bc

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a+cb＝sinA?sinBsinA?sinC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求a+bc的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式得：

a+c

b

=

a?b

a?c

，
化简得a²+b²-ab=c²，即a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2?c2

2ab

=

1

2

，
∵C为三角形的内角，
∴C=

π

3

；
（Ⅱ）

a+b

c

=

sinA+sinB

sinC

=

2

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]=2sin（A+

π

6

），
∵A∈（0，

2π

3

），∴A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
则

a+b

c

的取值范围是（1，2]．