Question

如图，在Rt三角形ABC中，角ABC＝90度，以AB为直径的图O交AC于点D，E是BC中点

，连接DE，OE。（1）判断DE与圆O的位置关系并说明理由；（2）求证：BC＾2＝2CD*OE

Answer 1

(1)DE是⊙O的切线
由於过圆上一点的切线只有一条,并且一条线段的中点只有一个,因此可过D作切线DF与BC交於F,只要证明F和E重合即可.
∵DF是切线,∴OD⊥DF
∴∠ODA+∠CDF=90°
∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD
∵∠ABC=90°,∴∠OAD(即∠BAC)+∠C=90°
∴∠C=∠CDF,∴CF=DF
由切线长定理得DF=BF,∴CF=BF,即F是BC中点
∵E是BC中点,∴E和F重合
∴DE是切线
(2)由切割线定理得BC^2=CD*CA
∴只要证明AC=2OE即可
∵O是AB中点,E是BC中点,∴AC=2OE
∴命题得证.

Answer 2

解：（1）de与⊙o相切，
理由如下：连接od，bd，
∵ab是直径，
∴∠adb=∠bdc=90°，
∵e是bc的中点，
∴de=be=ce（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠edb=∠ebd，
∵od=ob，
∴∠obd=∠odb，
∴∠obd+∠dbe=∠odb+∠edb，
即∠edo=∠ebo=90°，
∴od⊥de，
∵od是半径，
∴de与⊙o相切．
（2）证明：∵e是bc的中点，o点是ab的中点，
∴oe是△abc的中位线，
∴ac=2oe，
∵∠acb=∠bcd，
∴rt△abc∽rt△bdc，
∴bc2=cd•ac，
∴bc2=2cd•oe；

Answer 3

⑴连接BD，
∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC，
∵O、E分别为AB、BC中点，
∴OE∥AC，∴AE⊥BD，
∵OB=OD，∴∠EOB=∠EOD(等腰三角形三线合一)，
又OE=OE，
∴ΔOEB≌ΔOED，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴DE是⊙O的切线。
⑵∵∠CBD+∠C=∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠CBD，
又∠C=∠C，
∴ΔCBD∽ΔCAB，
∴BC/AC=CD/BC，而AC=2OE，
∴BC^2=2CD*OE。