Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为1/2，以原点为圆心，椭圆的

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为1/2，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+√6=0相切，直线l:x=my+4与你椭圆c相交于A,B两点
(1)求椭圆C的方程

Answer 1

解答如下
第一问
由题意得a=2，e=c/a=√2/2，且a^2=b^2+c^2
联解上式可得a=2，b=√2，c=√2
所以椭圆方程为x^2/4+y^2/2=1

第二问
将直线y=k(x-1)与椭圆联立可得
[k(x-1)]^2/2+x^2/4=1
整理得(2k^2+1)x^2-4k^2x+2k^2-4=0
M与N两点坐标为（x1，y1），（x2，y2）
则根据韦达定理可得x1+x2=4k^2/(2k^2+1)，x1*x2=(2k^2-4)/(2k^2+1)
因为直线过定点C（1,0），即AC=2-1=1
所以S△AMN=(1/2)AC*|y1-y2|
故4(S△AMN)^2=(y1-y2)^2
=[k(x1-1)-k(x2-1)]^2
=k^2(x1-x2)^2
=k^2[(x1+x2)^2-4x1*x2]
= k^2{ [4k^2/(2k^2+1)]^2- 4(2k^2-4)/(2k^2+1)}
即 40/9= k^2{ [4k^2/(2k^2+1)]^2- 4(2k^2-4)/(2k^2+1)}
整理得9k^2(3k^2+2)=5(2k^2+1)^2
解得k^2=1或k^2=-5/7（舍去）
即k=±1

~请首先关注【我的采纳率】
~如果不懂，请继续追问！
~如果你认可我的回答，请及时点击【采纳为最佳回答】按钮~
~如还有新的问题，在您采纳后还可以继续求助我二次！
~您的采纳是我前进的动力~~
O(∩_∩)O，记得好评和采纳，互相帮助
祝学习进步！