Question

（2011?江汉区）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1， 0）

（2011?江汉区）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1， 0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．（1）直接填写：a= 　　 ，b= 　　 ，顶点C的坐标为 　　 ；（2 ）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

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Answer 1

解：（1）a=﹣1，b=﹣2，顶点C的坐标为（﹣1，4）； （2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E． 由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°， ∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°， ∴△CED∽△DOA，∴ ． 设D（0，c），则 ．变形得c 2 ﹣4c+3=0，解之得c 1 =3，c 2 =1． 综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1）， 使△ACD是以AC为斜边的直角三角形． （3）①若点P在对称轴右侧（如图①）， 只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH． 延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴AM 2 =CM 2 ． 设M（m，0），则（m+3） 2 =4 2 +（m+1） 2 ，∴m=2，即M（2，0）． 设直线CM的解析式为y=k 1 x+b 1 ， 则 ，解之得 ， ． ∴直线CM的解析式 ． 联立 ，解之得 或 （舍去）． ∴ ． ②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH． 过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N． 由△CFA∽△CAH得 ， 由△FNA∽△AHC得 ． ∴AN=2，FN=1，点F坐标为（﹣5，1）． 设直线CF的解析式为y=k 2 x+b 2 ，则 ， 解之得 ． ∴直线CF的解析式 ． 联立 ，解之得 或 （舍去）． ∴ ． ∴满足条件的点P坐标为 或 ．

略