如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,连接AD
如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,连接AD.(1)求证:△CDE∽△CAD;(2)若AB=2,AC...
如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,连接AD.(1)求证:△CDE∽△CAD;(2)若AB=2,AC=2 ,求AE的长.
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(1)证明见解析 (2) |
试题分析:(1)由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°,则有∠B+∠BAD=90°,由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠DAE=90°,则∠B=∠CAD,由于∠B=∠ODB,∠ODB=∠CDE,所以∠B=∠CDE,则∠CAD=∠CDE,加上∠ECD=∠DCA,则可得到△CDE∽△CAD; (2)在Rt△AOC中,OA=1,AC=2 ,由勾股定理可得OC=3,则CD=OC﹣OD=2,由△CDE∽△CAD,根据相似比可计算出CE的长,从而可得AE的长 试题解析:(1)∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠B+∠BAD=90°, ∵AC为⊙O的切线, ∴BA⊥AC, ∴∠BAC=90°,即∠BAD+∠DAE=90°, ∴∠B=∠CAD, ∵OB=OD, ∴∠B=∠ODB, 而∠ODB=∠CDE, ∴∠B=∠CDE, ∴∠CAD=∠CDE, 而∠ECD=∠DCA, ∴△CDE∽△CAD; (2)∵AB=2, ∴OA=1, 在Rt△AOC中,AC=2 , ∴OC= =3, ∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2, ∵△CDE∽△CAD, ∴ = ,即 = , ∴CE= . ∴AE=AC-CE= |