Question

（2014?济宁一模）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD

（2014?济宁一模）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD，若E，F分别为PC，BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥F-DEC的体积；（Ⅲ）在线段AB上是否存在一点G，使得平面EFG⊥平面PDC？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA，
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）解：如图，取AD的中点O，连接OP．
∵PA=AD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD．
∵E为PC的中点，
∴三棱锥F-DEC的高为h=

1

2

PO，
∵PA=PD=

2

2

AD，且AD=a，
∴PO=

a

2

，
∴h=

a

4

，
∴三棱锥F-DEC的体积是V_E-FDC=

1

3

S_△FDCh=

1

3

?

1

2

a?

1

2

a?

1

4

a=

1

48

a3；
（Ⅲ）解：存在点G满足条件，证明如下：
设点G为AB中点，连接EG、FG．
由F为BD的中点，∴FG∥AD，
由（I）得EF∥PA，且FG∩EF=F，AD∩PA=A，
∴平面EFG∥平面PAD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD．
∴CD⊥平面EFG．
∵CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面EFG．
AB的中点G为满足条件的点．