Question

如图，已知三棱锥P－ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB中点，M为PB中点，且△PDB是正三角形，PA

如图，已知三棱锥P－ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB中点，M为PB中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC。 .（1）求证：DM∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面ABC；（3）求三棱锥M－BCD的体积

Answer 1

（1）详见解析，（2）详见解析，（3）

试题分析：（1）证线面平行找线线平行，本题有中点条件，可利用中位线性质.即DM∥AP，写定理条件时需完整，因为若缺少DM 面APC，，则DM可能在面PAC内，若缺少AP 面APC，则DM与面PAC位置关系不定.（2）证面面垂直关键找线面垂直.可由面面垂直性质定理探讨，因为BC垂直AC,而AC为两平面的交线,所以应有BC垂直于平面PAC，这就是本题证明的首要目标.因为BC垂直AC,因此只需证明BC垂直平面PAC另一条直线.这又要利用线面垂直与线线垂直关系转化.首先将题目中等量关系转化为垂直条件,即DM⊥PB，从而有PA⊥PB，而PA⊥PC，所以PA⊥面PBC，因此PA⊥BC.（3）求锥的体积关键找出高，有（2）有PA⊥面PBC，因此DM为高，利用体积公式可求得 试题解析：（1）D为AB中点，M为PB中点 DM∥AP 又 DM 面APC，AP 面APC DM∥面PAC （2） △PDB是正三角形，M为PB中点 DM⊥PB，又 DM∥AP， PA⊥PB 又 PA⊥PC，PB PC＝P，PA⊥面PBC 又 BC 面PBC， PA⊥BC 又 ∠ACB＝90°， BC⊥AC 又 AC PA＝A， BC⊥面PAC 又 BC 面ABC, 面PAC⊥面ABC （3） AB＝20，D为AB中点，AP⊥面PBC PD＝10 又 △PDB为正三角形， DM＝5 又 BC＝4，PB＝10， PC＝2 S△PBC＝