Question

如图①，已知△ABC中，AB=AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G点．（1）则CG、P

如图①，已知△ABC中，AB=AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G点．（1）则CG、PM、PN三者之间的数量关系是______；（2）如图②，若点P在BC的延长线上，则PM、PN、CG三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想；（3）如图③，AC是正方形ABCD的对角线，AE=AB，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，猜想PM、PN、AC有什么关系；（直接写出结论）

Answer 1

解：（1）方法一：过P作PH垂直CG于H，
∵PM⊥AB，CG⊥AB，
∴∠AMP=∠MGH=∠PHG=90°，
∴四边形MPHG是矩形，
∴PM=GH，PH∥AB，
∴∠HPC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠HPC=∠NCP，
又∵PH⊥CG，PN⊥AC，
∴∠PHC=∠CNP=90°，
∴△PHC≌△CNP，
∴CH=PN，
∴CG=GH+HC=PM+PN．

方法二：PM+PN=CG．
连接AP，则△ABC被分成△APB与△APC，
则△ABC的面积=△APB的面积+△APC的面积，
即

1

2

×AC×CG=

1

2

×AB×PM+

1

2

×AC×PN，
∵AB=AC，
∴PM+PN=CG；


（2）过C作CH垂直MP于H，
∠HPC+∠ABC=90°∠NPC+∠PCN=90
∵∠ABC=∠ACB=∠PCN
∴∠HPC=∠NPC
又PH⊥CG，PN⊥AC
∴△PNC≌△PHC?PM=CG+PN．

（3）猜想PM+PN=

1

2

AC（令点P与点B重合）

Answer 2

原题应该是这样的： 

       如图①，已知△ABC中，AB=AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G点．
（1）则CG、PM、PN三者之间的数量关系是______；
（2）如图②，若点P在BC的延长线上，则PM、PN、CG三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想；
（3）如图③，AC是正方形ABCD的对角线，AE=AB，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，猜想PM、PN、AC有什么关系；（直接写出结论）

解：（1）CG、PM、PN三者之间的数量关系是PM+PN=CG．

 （2）PM=CG+PN．

 证明：过C作CH垂直MP于H，则

          ∠HPC+∠ABC=90°，∠NPC+∠PCN=90
        ∵∠ABC=∠ACB=∠PCN
        ∴∠HPC=∠NPC
    又∵PH⊥CG，PN⊥AC
       ∴△PNC≌△PHC
       ∴PN=PH

       ∵MH=CG

       ∴ PM=CG+PN．

（3）猜想PM+PN=1/2AC.

 

很高兴为你解答，满意请采纳，谢谢！

Answer 3

解：（1）方法一：过P作PH垂直CG于H，
∵PM⊥AB，CG⊥AB，
∴∠AMP=∠MGH=∠PHG=90°，
∴四边形MPHG是矩形，
∴PM=GH，PH∥AB，
∴∠HPC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠HPC=∠NCP，
又∵PH⊥CG，PN⊥AC，
∴∠PHC=∠CNP=90°，
∴△PHC≌△CNP，
∴CH=PN，
∴CG=GH+HC=PM+PN．

方法二：PM+PN=CG．
连接AP，则△ABC被分成△APB与△APC，
则△ABC的面积=△APB的面积+△APC的面积，
即
1
2
×AC×CG=
1
2
×AB×PM+
1
2
×AC×PN，
∵AB=AC，
∴PM+PN=CG；

（2）过C作CH垂直MP于H，
∠HPC+∠ABC=90°∠NPC+∠PCN=90
∵∠ABC=∠ACB=∠PCN
∴∠HPC=∠NPC
又PH⊥CG，PN⊥AC
∴△PNC≌△PHC?PM=CG+PN．

（3）猜想PM+PN=
1
2
AC（令点P与点B重合）

Answer 4

题目不完整。