(2008?芜湖)在Rt△ABC中,BC=9,CA=12,∠ABC的平分线BD交AC与点D,DE⊥DB交AB于点E.(1)设⊙O是△BD
(2008?芜湖)在Rt△ABC中,BC=9,CA=12,∠ABC的平分线BD交AC与点D,DE⊥DB交AB于点E.(1)设⊙O是△BDE的外接圆,求证:AC是⊙O的切线...
(2008?芜湖)在Rt△ABC中,BC=9,CA=12,∠ABC的平分线BD交AC与点D,DE⊥DB交AB于点E.(1)设⊙O是△BDE的外接圆,求证:AC是⊙O的切线;(2)设⊙O交BC于点F,连接EF,求EFAC的值.
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解答:(1)证明:∵DE⊥DB,⊙O是Rt△BDE的外接圆
∴BE是⊙O的直径,点O是BE的中点,连接OD(1分)
∵∠C=90°
∴∠DBC+∠BDC=90°
又∵BD为∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠DBC
∵OB=OD
∴∠ABD=∠ODB
∴∠ODB+∠BDC=90°
∴∠ODC=90°(4分)
又∵OD是⊙O的半径
∴AC是⊙O的切线(5分)
(2)解:设⊙O的半径为r,
在Rt△ABC中,AB2=BC2+CA2=92+122=225
∴AB=15(7分)
∵∠A=∠A,∠ADO=∠C=90°
∴△ADO∽△ACB.
∴
=
∴
=
∴r=
∴BE=2r=
,(10分)
又∵BE是⊙O的直径
∴∠BFE=90°
∴△BEF∽△BAC
∴
=
=
=
(12分)
∴BE是⊙O的直径,点O是BE的中点,连接OD(1分)
∵∠C=90°
∴∠DBC+∠BDC=90°
又∵BD为∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠DBC
∵OB=OD
∴∠ABD=∠ODB
∴∠ODB+∠BDC=90°
∴∠ODC=90°(4分)
又∵OD是⊙O的半径
∴AC是⊙O的切线(5分)
(2)解:设⊙O的半径为r,
在Rt△ABC中,AB2=BC2+CA2=92+122=225
∴AB=15(7分)
∵∠A=∠A,∠ADO=∠C=90°
∴△ADO∽△ACB.
∴
AO |
AB |
OD |
BC |
∴
15?r |
15 |
r |
9 |
∴r=
45 |
8 |
∴BE=2r=
45 |
4 |
又∵BE是⊙O的直径
∴∠BFE=90°
∴△BEF∽△BAC
∴
EF |
AC |
BE |
BA |
| ||
15 |
3 |
4 |
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