Question

在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x 2 +x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．（

在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x 2 +x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

Answer 1

解：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2）， ∵A在反比例函数图象上， ∴设反比例函数的解析式为：y= ， 代入A（1，﹣2）得：﹣2= ， 解得：m=﹣2， ∴反比例函数的解析式为：y=﹣ ； （2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大， ∴k＜0， ∵二次函数y=k（x 2 +x﹣1）=k（x+ ） 2 ﹣ k的对称轴为： 直线x=﹣ ， 要使二次函数y=k（x 2 +x﹣1）满足上述条件， 在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边， 即x＜﹣ 时，才能使得y随着x的增大而增大， ∴综上所述，k＜0且x＜﹣ ； （3）由（2）可得：Q（﹣ ， k）， ∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形， A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况） ∴原点O平分AB， ∴OQ=OA=OB， 作AD⊥OC，QC⊥OC， ∴OQ= = ， ∵OA= = ， ∴ = ， 解得：k=± ．