Question

如图，已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，（1）求证：MN∥平

如图，已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，（1）求证：MN∥平面PB1C．（2）求证：D1B⊥平面PB1C．

Answer 1

证明：（1）连接AC，则AC一定过点P，连接AB₁．
∵A₁M=MA，A₁N=NB₁，∴MN∥AB₁．
又MN?平面AB₁C，AB₁?平面AB₁C，
∴MN∥平面AB₁C，即MN∥平面PB₁C．
（2）连D₁B₁，PB，
∵

D1D

DB

＝

PB

BB1

=

1

2

，∠D₁DB=∠PBB₁=90°，
∴△D₁DB∽△PBB₁，
∴∠D₁DB=∠BB₁P，
∵∠PBB₁=90°，
∴∠B₁PB+∠D₁BD=90°，
∴PB₁⊥D₁B①
∴B₁B⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，
∴B₁B⊥AC，
∵AC⊥BD，BD∩B₁B=B，
∴AC⊥平面B₁D
∵BD₁?平面B₁D，
∴AC⊥D₁B②
∵PB₁∩AC=P以及 ①②得：D₁B⊥平面PB₁C．